Hãy xem xét một phương trình, trong đó so sánh với phương trình dao động Van der Pol, yếu tố ma sát thay đổi theo:

y ¨ + y − ε ( y ˙ 3 3 − y ˙ ) = 0. {\displaystyle {\ddot {y}}+y-\varepsilon \left({\frac {{\dot {y}}^{3}}{3}}-{\dot {y}}\right)=0.}

Trạng thái cân bằng tại: y ¨ = y = 0. {\displaystyle {\ddot {y}}=y=0.}

Dưới đây là một ví dụ tốt về một nỗ lực không thành công để tìm hàm Lyapunov để chứng minh sự ổn định:

Cho

x 1 = y , x 2 = y ˙ {\displaystyle x_{1}=y,x_{2}={\dot {y}}}

do đó hệ thống tương ứng là

x 2 ˙ = − x 1 + ε ( x 2 3 3 − x 2 ) . {\displaystyle {\dot {x_{2}}}=-x_{1}+\varepsilon \left({\frac {{x_{2}}^{3}}{3}}-{x_{2}}\right).}

Hãy lựa chọn như là một hàm Lyapunov

V = 1 2 ( x 1 2 + x 2 2 ) {\displaystyle V={\frac {1}{2}}\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\right)}

mà rõ ràng là xác định dương. Đạo hàm của nó là

V ˙ = x 1 x ˙ 1 + x 2 x ˙ 2 = x 1 x 2 − x 1 x 2 + ε x 2 4 3 − ε x 2 2 = ε x 2 4 3 − ε x 2 2 . {\displaystyle {\dot {V}}=x_{1}{\dot {x}}_{1}+x_{2}{\dot {x}}_{2}=x_{1}x_{2}-x_{1}x_{2}+\varepsilon {\frac {x_{2}^{4}}{3}}-\varepsilon {x_{2}^{2}}=\varepsilon {\frac {x_{2}^{4}}{3}}-\varepsilon {x_{2}^{2}}.}

Dường như là nếu tham số  ε {\displaystyle \varepsilon }  là dương, độ ổn định sẽ là tiệm cận đối với  x 2 2 < 3. {\displaystyle x_{2}^{2}<3.}  Nhưng điều này là sai, bởi vì  V ˙ {\displaystyle {\dot {V}}}  không phụ thuộc vào  x 1 {\displaystyle x_{1}} , và sẽ là 0 mọi nơi trong trục  x 1 {\displaystyle x_{1}} . Hệ thống này là ổn định Lyapunov.